函數(shù)h(x)=
1
x
-x
,若不等式h(x)•h(2k-x)≥(
1
k
-k
2在(0,2k)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=h(x)•h(2k-x),令y=2k-x,t=xy,則f(x)═
1-4k2
t
+t+2
,根據(jù)“對勾函數(shù)”單調(diào)性,將不等式h(x)•h(2k-x)≥(
1
k
-k
2在(0,2k)上恒成立轉(zhuǎn)化為
k2
1-4k2
k>0
1-4k2>0
,解不等式組即可求出k的范圍.
解答: 解:∵x∈(0,2k)
∴2k-x>0,
令y=2k-x,則x、y∈R+,
∴2k=x+y≥2
xy

令t=xy,則0<t≤k2,
∴f(x)=h(x)•h(2k-x)
=(
1
x
-x)(
1
y
-y)

=
1
xy
+xy-
x2+y2
xy

=
1
xy
+xy-
(x+y)2-2xy
xy

=
1
t
+t-
4k2-2t
t

=
1-4k2
t
+t+2
,
當(dāng)1-4k2≤0時(shí),f(x)無最小值,不合題意;
當(dāng)1-4k2>0時(shí),f(x)在(0,
1-4k2
)上遞減,在(
1-4k2
,+∞)上遞增,
且f(k2)=
1
k2
+k2-2
=(
1
k
-k
2
∴f(x)≥(
1
k
-k
2在(0,2k)上恒成立等價(jià)于
k2
1-4k2
k>0
1-4k2>0
,
0<k<
1
2
k≤
5
-2

解得,0<k≤
5
-2

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,
5
-2
]
點(diǎn)評:本題考查換元法的靈活應(yīng)用,轉(zhuǎn)化與化歸的技巧,對勾函數(shù)的性質(zhì),基本不等式等知識與技能的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若復(fù)數(shù)z=
1-ai
i
對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+2y+5=0上,則實(shí)數(shù)a的值為( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某地一漁場的水質(zhì)受到了污染.漁場的工作人員對水質(zhì)檢測后,決定往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為m(m∈N*)個(gè)單位的藥劑后,經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y=mf(x),其中f(x)=
log3(x+4),0<x≤5
6
x-2
,x>5
,當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化;當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化.
(Ⅰ)如果投放的藥劑質(zhì)量為m=6,試問漁場的水質(zhì)達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天?
(Ⅱ)如果投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內(nèi)的漁場的水質(zhì)達(dá)到最佳凈化,試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,∠B=60°,sinA=
4
5
,b=
3

(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校高三(1)班共有40名學(xué)生,他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間全部在180分鐘到330分鐘之間,按他們學(xué)習(xí)時(shí)間的長短分5個(gè)組統(tǒng)計(jì),得到如下頻率分布表:
組別 分組 頻數(shù) 頻率
第一組 [180,210)   0.1
第二組 [210,240) 8 s
第三組 [240,270) 12 0.3
第四組 [270,300) 10 0.25
第五組 [300,330)   t
(1)求分布表中s,t的值;
(2)王老師為完成一項(xiàng)研究,按學(xué)習(xí)時(shí)間用分層抽樣的方法從這40名學(xué)生中抽取20名進(jìn)行研究,問應(yīng)抽取多少名第一組的學(xué)生?
(3)已知第一組學(xué)生中男、女生人數(shù)相同,在(2)的條件下抽取的第一組學(xué)生中,既有男生又有女生的概率是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+bx+c在x=1處的切線是y=(3a-3)x-3a+4.
(1)試用a表示b和c;
(2)求函數(shù)f(x)≥-
3
2
在[1,3]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了解某單位員工的月工資水平,從該單位500位員工中隨機(jī)抽取了50位進(jìn)行調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:
月工資
(單位:百元)
[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
男員工數(shù) 1 8 10 6 4 4
女員工數(shù) 4 2 5 4 1 1
(Ⅰ)完成如圖月工資頻率分布直方圖(注意填寫縱坐標(biāo));
(Ⅱ)試由圖估計(jì)該單位員工月平均工資;
(Ⅲ)若從月工資在[25,35)和[45,55)兩組所調(diào)查的女員工中隨機(jī)選取2人,試求這2人月工資差不超過1000元的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

A={x|2≤x≤6},B={x|3x-7≥8-2x},
(1)A∪B,∁R(A∩B)
(2)若C={x|a-4<x≤a+4},且A⊆C,求a.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合A={x|
1
x
<2},B={x|2x>1},則A∪B=
 

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同步練習(xí)冊答案