Question

已知函數(shù)（a，b∈R）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，1]
B．
C．
D．[1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)圖象在點(diǎn)（1，f（1））處得切線在y軸上的截距為3，求得b=3-2a，再將f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，再進(jìn)行分類討論，即可確定a的取值范圍．
解答：解：由題意，f（1）=2a+b∵函數(shù)f（x）=ax++b（a，b∈R）
∴f′（x）=a-，
∴f′（1）=0；
所以圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為：y=f（1）=2a+b=3，
∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
設(shè)g（x）=f（x）-x=（a-1）x++3-2a，
∴g′（x）=a-1-，a≤0時(shí)，x²＞1，0＜＜1，∴0＜-＜-a，∴a-1-＜-1＜0；
0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，∴-＜0，∴a-1-＜0；
所以a＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（x）＞0不會(huì)恒成立，不滿足題意；
把a(bǔ)=1代入可得：g（x）=+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合條件；
a＞1時(shí)，g′（x）=0 得：x=；
當(dāng)x＞時(shí)，g′（x）＞0；1＜x＜時(shí)，g′（x）＜0，
所以g（x）_min=g（）＞0即可，
即：（a-1）++3-2a＞0
∴2＞2a-3．
①當(dāng)1＜a≤時(shí)，上式恒成立；
②當(dāng)a＞時(shí)，平方得：4a²-4a＞4a²-12a+9 即：a＞；
∴a＞時(shí)，符合題意；綜上可知：a的取值范圍是：[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，解題時(shí)正確分類，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵