Question

設(shè)a∈R,f(x)=是奇函數(shù)，

（1）求a的值;

(2)如果g(n)=(n∈N₊)，試比較f(n)與g(n)的大小(n∈N₊).

Answer 1

思路解析：∵(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f(0)=0,故a=1.

(2)f(n)-g(n)=.

只要比較2ⁿ與2n+1的大小.

當(dāng)n=1,2時(shí)，f(n)＜g(n);當(dāng)n≥3時(shí),2ⁿ＞2n+1,f(n)＞g(n).

下面證明，n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1，即f(x)＞g(x).

①n=3時(shí)，2³＞2×3+1,顯然成立，

②假設(shè)n=k(k≥3,k∈N)時(shí)，2^k＞2k+1,那么n=k+1時(shí)，2^k+1=2×2^k＞2(2k+1).

2(2k+1)-［2(k+1)+1］=4k+2-2k-3=2k-1＞0(∵k≥3),

有2^k+1＞2(k+1)+1.

∴n=k+1時(shí)，不等式也成立，由①②可以斷定,n≥3,n∈N時(shí),2ⁿ＞2n+1.

結(jié)論:n=1,2時(shí),f(n)＜g(n);當(dāng)n≥3,n∈N時(shí),f(n)＞g(n).