Question

設(shè)a∈R，函數(shù) f （x）=x²+2a|x-1|，x∈R．
（1）討論函數(shù)f （x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f （x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）第一問(wèn)考查函數(shù)的奇偶性，當(dāng)a=0時(shí)，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，用特殊值法判斷函數(shù)不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；
（2）第二問(wèn)是求最值的題目，先判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值：分別求出分段函數(shù)的對(duì)稱軸，再利用對(duì)a進(jìn)行分類討論：a≥1時(shí)； a＜1時(shí)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值．

解答：解：∵f （x）=x²+2 a|x-1|，x∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f （x）=x²，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)函數(shù)非奇非偶函數(shù)．…（2分）
因?yàn)閒（1）=1，f（-1）=1+4a≠f（1），即a≠0時(shí)函數(shù)不是偶函數(shù)；…（3分）
當(dāng)a≠-

1

2

時(shí)f（-1）=1+4a≠-f（1），函數(shù)不是奇函數(shù)；當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，
f（x）=x²-|x-1|，f（2）=3，f（-2）=1，f（-2）≠-f（2），所以函數(shù)不是奇函數(shù)．…（5分）
綜上，當(dāng)a=0時(shí)，f （x）=x²，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)函數(shù)非奇非偶函數(shù)．
（2）f （x）=

x2+2ax-2a x2-2ax+2a

=

(x+a)2-a2-2a，x≥1 (x-a)2-a2 +2a，x＜1

…（7分）
1° a≥1時(shí)，x≥1時(shí)，f （x）≥x²≥1=f （1）⇒f （x）_min=1…（8分）
x＜1時(shí)，對(duì)稱軸 x=a＞1⇒f （x） 在 （-∞，1）上為減函數(shù)⇒f （x）＞f （1）=1
綜上，a≥1時(shí)，f （x）_min=1…（10分）
2° a＜1時(shí)，若 x＜1，f （x）_min=f （a）=-a²+2a=2a-a²…（11分）
而 x≥1時(shí)，f （x）_min≥-a²-2a＞-a²＞2a-a²…（12分）
∴a＜1時(shí)，f （x）_min=2a-a²
∴f （x）_min=

1，a≥0 2a-a2，a＜0

…（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查帶絕對(duì)值的函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，考查二次函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想，計(jì)算能力．本題是中檔題，