設A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點在拋物線y＝2x2上，l是AB的垂直平分線．

(1)當且僅當x1＋x2取何值時，直線l經過拋物線的焦點F？證明你的結論．

(2)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：F∈l|FA|＝|FB|A、B兩點到拋物線的準線的距離相等，

　　∵拋物線準線y＝平行于x軸，y1≥0，y2≥0，

　　依題意y1、y2不同時為零，

　　∴上述條件等價于y1＝y(tǒng)2x12＝x22(x1＋x2)(x1－x2)＝0．

　　∵x1≠x2，∴上述條件等價于x1＋x2＝0，即當且僅當x1＋x2＝0時，l經過拋物線的焦點F．

　　(2)設l在y軸上的截距為b，則l的方程y＝2x＋b，過A、B兩點的直線方程為．

　　由得＝0．

　　∴x1＋x2＝．

　　Δ＝＋8m＞0．

　　∴m＞．設AB中點N的坐標為(x0，y0)，

　　則x0＝(x1＋x2)＝，y0＝x0＋m＝＋m．

　　∵N點在l上，

　　∴＋m＝＋b．

　　于是b＝，即b＞．

　　故直線l在y軸上截距的取值范圍是(，＋∞)．


提示：

本題考查直線、拋物線等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．注意判別式的作用和充要條件的證明，“當且僅當”即指充要條件．本題利用直線與拋物線的位置關系求解．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設A(x1，y1)，B(4，
9
5
)，C(x2，y2)是右焦點為F的橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上三個不同的點，則“|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列”是“x1+x2=8”的（　�。�
A、充要條件
B、必要不充分條件
C、充分不必要條件
D、既非充分也非必要

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，若|
a
|=2，|
b
|=3，
a
•
b
=-6，則
x1+y1
x2+y2
=（　�。�
A、
2
3
B、
3
2
C、-
2
3
D、-
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，定義一種運算：
a
⊕
b
=（x1x2，y1y2）．已知
p
=(
8
π
，2)，
m
=(
1
2
，1)，
n
=(
π
4
，-
1
2
)．
（1）證明：（
p
⊕
m
）⊥
n
；
（2）點P（x0，y0）在函數(shù)g（x）=sinx的圖象上運動，點Q（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上運動，且滿足
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O為坐標原點），求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年萊陽一中學段檢測）(14分)

      已知函數(shù)， (a>0且a1)，其中為常數(shù)．如果

h(x)=f(x)+g(x)是增函數(shù)，且h(x)的導函數(shù)h (x)存在零點．

    (1)求a的值；

    (2)設A(x1、y1)、B(x2、y2)(x1 < x2)是函數(shù)y=g(x)的圖象上兩點， 

(g(x)為g(x)的導函數(shù))，證明：x1 < x0 < x2

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河北省高三上學期期末考試文科數(shù)學 題型：解答題

．（本題滿分12分）

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，是橢圓+=(a＞b＞0)上的兩點，已知向量m=(，)，n=(，)，若m·n=0且橢圓的離心率e=，短軸長為2，O為坐標原點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 

 

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