Question

如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（Ⅰ）求直線EC與平面ABE所成角的正切值；
（Ⅱ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？存在請確定具體位置，不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面所成角的定義，即可求直線EC與平面ABE所成角的正切值；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合EC∥平面FBD，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，且交線AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ABE，
則∠CEB是直線EC與平面ABE所成角，
∵在等腰三角形ABE中，AB=2，
∴EB=EA=

2

，
在直角三角形CBE中，tan∠CEB=

BC

BE

=

1

2

=

2

2

，
∴直線EC與平面ABE所成角的正切值為

2

2

．
（Ⅱ）設(shè)O為AB的中點，連接OD，OE，則OE⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE，
∴OE⊥平面ABE，OE⊥OD，
在直角梯形ABCD，由CD=OB，CD∥OB，可得OD⊥AB，
由OB，OD，OE兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
假設(shè)線段EA上存在點F，使EC∥平面FBD，
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PBD的一個法向量，則必需使

EC

⊥

n

．
∵E（0，0，1），C（1，-1，0），B（0，-1，0），D（1，0，0）
則

EC

=(1，-1，-1)，

BD

=(1，1，0)，
設(shè)F（0，a，1-a）

DF

=(-1，a，1-a)，
∴

n • DF =0 n • BD =0

，得

-x+ya+z(1-a)=0 x+y=0

令x=1，則

n

=(1，-1，

1+a

1-a

)．
要使

EC

⊥

n

，則有1+1+

1+a

1-a

=0，∴a=

1

3

．
此時F(0，

1

3

，

2

3

)，

EF

=(0，

1

3

，-

1

3

)，

EA

=(0，1，-1)，
∴

EF

=

1

3

EA

則線段EA上存在點F，且是靠近點E的一個三等分點．

點評：本題主要考查直線和平面所成角的計算，以及線面平行的判斷，建立空間坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵．