Question

已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=

ax2

ex

（a∈R，且a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的極大值為

1

e

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，根據(jù)函數(shù)f（x）的極大值為

1

e

，建立方程關(guān)系，即可求a的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽．求導(dǎo)得f′(x)=

a(2x-x2)

ex

，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減，
在（0，2）上單調(diào)遞增，
于是當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取到極大值，極大值為

4a

e2

=

1

e

，
故a的值為

e

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．