Question

如圖，在△ABC中，BC=1，AB=2，∠ABC=60°，四邊形ACDE為矩形，且平面ACDE⊥平面ABC，DC=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACDE；
（Ⅱ）若點(diǎn)M為線段ED的中點(diǎn)，求平面MAB與平面BCD所成銳二面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由在△ABC中，BC=1，AB=2，∠ABC=60°，結(jié)合余弦定理和勾股定理，可得BC⊥AC，結(jié)合平面ACDE⊥平面ABC和面面垂直的性質(zhì)定理可得：BC⊥平面ACDE；
（II）（綜合幾何法）延長(zhǎng)CD、AM交于一點(diǎn)F，連FB，過C作CG⊥FB于點(diǎn)G，連AG．由于BC⊥AC，DC⊥AC，故AC⊥平面BCF，于是AC⊥FB，又CG⊥FB，故AG⊥FB，于是∠CGA為所求角，解三角形可得答案；
（向量法）如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)平面MAB與平面BCD所成銳二面角為θ，分別求出兩個(gè)平面的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（I）由BC=1，AB=2，∠ABC=60°，
由余弦定理可得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+1-2=3=AB²-BC²，
∴BC⊥AC，
又平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACDE；

解：（II）（綜合幾何法）延長(zhǎng)CD、AM交于一點(diǎn)F，連FB，過C作CG⊥FB于點(diǎn)G，連AG．
由于BC⊥AC，DC⊥AC，故AC⊥平面BCF，
于是AC⊥FB，又CG⊥FB，故AG⊥FB，于是∠CGA為所求角，
由M是AF的中點(diǎn)，于是CF=2，故CG=

BC•CF

BF

=

2

5

，

于是在△ACG中，tan∠CGA=

AC

CG

=

15

2

（向量法）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求角為θ，
則C（0，0，0），M(

3

2

，0，1)，A(

3

，0，0)，B（0，1，0），

AB

=(-

3

，1，0)，

AM

=(-

3

2

，0，1)，

設(shè)平面AMB的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，于是

n1

•

AB

=0，

n1

•

AM

=0，
即-

3

x1+y1=0，-

3

2

x1+z1=0，令x₁=1，則y1=

3

，z1=

3

2

，于是

n1

=(1，

3

，

3

2

)．
易得平面DCB的法向量

n2

=(1，0，0)，
于是cosθ=

n1 • n2

| n1 |• |n2 |

=

2

19

，于是tanθ═

15

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判斷，面面垂直的性質(zhì)，二面的平面角及求法，是空間線面關(guān)系和線面夾角的綜合應(yīng)用，難度中檔．