Question

若S_n和T_n分別表示數列{a_n}和{b_n}的前n項和，對任意正整數n，有a_n=-

2n+3

2

，4T_n-12S_n=13n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=b_n+

5

4

，若

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

＞

11

100

，求n的最小值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用公式法，兩式作差即可解得結論；
（2）利用裂項相消法求得

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

9

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

9

（1-

1

n+1

）=

n

9(n+1)

．令  

n

9(n+1)

＞

11

100

解得即可．

解答： 解析：（1）當n≥2，n∈N^*時：

4Tn-12sn=13n 4Tn-1-12sn-1=13(n-1)

，
兩式相減得：4b_n-12a_n=13，∴b_n=3a_n+

13

4

=-3n-

5

4

，
又b₁=-

17

4

也適合上式，∴數列{b_n}的通項公式為bn=-3n-

5

4

．
（2）由（1）得 c_n=-3n，
于是  

1

cncn+1

=

1

9n(n+1)

=

1

9

（

1

n

-

1

n+1

），
所以  

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

9

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

9

（1-

1

n+1

）=

n

9(n+1)

．
令  

n

9(n+1)

＞

11

100

，得n＞99．
所以n的最小值為100．

點評：本題主要考查數列通項公式的求法及利用裂項相消法求數列的和等知識，考查學生的等價轉化思想的運用能力及運算求解能力，屬于中檔題．