如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點

(Ⅰ)求證：AC⊥BC1；

(Ⅱ)求二面角D－CB1－B的平面角的正切值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，

　　

　　∴AC⊥BC，　2分

　　又AC⊥，且

　　∴AC⊥平面BCC1，又平面BCC1　4分

　　∴AC⊥BC1　5分

　　(Ⅱ)解法一：取中點，過作于，連接

　　是中點，

　　∴，又平面

　　∴平面，

　　又平面，平面

　　∴

　　∴又且

　　∴平面，平面

　　∴又

　　∴是二面角的平面角　10分

　　AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

　　∴在中，，，

　　∴　11分

　　∴二面角的正切值　12分

　　解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系　6分

　　AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

　　∴，，，，

　　∴，

　　平面的法向量，　7分

　　設(shè)平面的法向量，

　　則，的夾角(或其補角)的大小就是二面角的大小　8分

　　則由令，則，

　　∴　10分

　　，則　11分

　　∵二面角是銳二面角

　　∴二面角的正切值為　12分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高考試題數(shù)學理（四川卷）解析版 題型：解答題

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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