Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時，f(x)=(

1

2

)x．
（Ⅰ）求f（-1）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域A；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g(x)=

-x2+(a-1)x+a

的定義域為集合B，若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，把-1轉(zhuǎn)化到給出解析式的范圍上，代入解析式可求．
（II）因為f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以x≥0時函數(shù)值的取值集合就是函數(shù)f（x）的值域A，求出(

1

2

)x（x≥0）的取值集合即可．
（III）先寫出x所要滿足的一元二次不等式，因為A=（0，1]⊆B，
法一：把不等式分解因式，很容易看出兩根，一根為-1又B中含有正數(shù)，所以另一根一定大于-1得定義域B=[-1，a]，得實數(shù)a的取值范圍；
法二：設(shè)為函數(shù)，利用函數(shù)圖象，（0，1]在圖象與x軸的兩交點之間，圖象開中向上，x=0，x=1時對應(yīng)的函數(shù)小于等于0，得不等式組，可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-1）=f（1）
又x≥0時，f(x)=(

1

2

)x
∴f(1)=

1

2

，即f（-1）=

1

2

．
（II）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）的值域A即為
x≥0時，f（x）的取值范圍，
當(dāng)x≥0時，0＜(

1

2

)x≤1
故函數(shù)f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵g(x)=

-x2+(a-1)x+a

定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|x²-（a-1）x-a≤0}
方法一：由x²-（a-1）x-a≤0得（x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]，且a≥1（13分）
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}
方法二：設(shè)h（x）=x²-（a-1）x-a
A⊆B當(dāng)且僅當(dāng)

h(0)≤0 h(1)≤0

即

-a≤0 1-(a-1)-a≤0

∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，集合包含關(guān)系的判斷，函數(shù)值域，函數(shù)的奇偶性在求相反兩個自變量的函數(shù)值時很好用，在求值域上也可只求y軸一側(cè)的，由集合的包含關(guān)系求參數(shù)范圍時，用端點比較法，結(jié)合圖象，更好理解．