Question

【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N） （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=（2n﹣1）an ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+3， ∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an ， 化為an+1=3an ．
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3．
∴an=3n ．
（II）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n ，
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n ，
3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1 ，
∴﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1= ﹣3﹣（2n﹣1）3n+1=（2﹣2n）3n+1﹣6，
∴Tn=（n﹣1）3n+1+3
【解析】（I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的其前n項(xiàng)和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．