Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C為

x2

4

+y²=1
（1）若一直線與橢圓C交于兩不同點(diǎn)M、N，且線段MN恰以點(diǎn)（-1，

1

4

）為中點(diǎn)，求直線MN的方程；
（2）若過點(diǎn)A（1，0）的直線l（非x軸）與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先判斷直線MN與橢圓必有公共點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系式，即可求直線MN的方程；
（2）假定存在定點(diǎn)E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ，可設(shè)直線l的方程代入橢圓方程，得到一元二次方程，進(jìn)而利用向量的關(guān)系得到參數(shù)的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)（-1，

1

4

）在橢圓內(nèi)部，∴直線MN與橢圓必有公共點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知x₁≠x₂，則有

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
兩式相減，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
而x1+x2=-2，y1+y2=

1

2

，∴直線MN的斜率為1
∴直線MN的方程為4x-4y+5=0；
（2）假定存在定點(diǎn)E（m，0），

PE

•

QE

恒為定值λ
由于直線l不可能為x軸，于是可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，且設(shè)點(diǎn)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
將x=ky+1代入

x2

4

+y²=1得（k²+4）y²+2ky-3=0．
顯然△＞0，∴y₃+y₄=-

2k

k2+4

，y₃y₄=-

3

k2+4

∵

EP

=（x₃-m，y₃），

EQ

=（x₄-m，y₄），，
∴

PE

•

QE

=x₃x₄-m（x₃+x₄）+m²+y₃y₄=

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

若存在定點(diǎn)E（m，0），使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

=λ為定值（λ與k值無(wú)關(guān)），則必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

∴m=

17

8

，λ=

33

64

∴在x軸上存在定點(diǎn)E（

17

8

，0），使

PE

•

QE

恒為定值

33

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)差法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．