Question

已知向量

a

、

b

滿足：|

a

|=|

b

|=1，且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，其中k＞0．
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）當(dāng)

a

•

b

最小時(shí)，求

a

與

b

的夾角θ的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量模的公式與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合|

a

|=|

b

|=1算出k2+2k

a

•

b

+1=3(1-2k

a

•

b

+k²），化簡(jiǎn)即得用k表示

a

•

b

的式子；
（2）由基本不等式，算出

a

•

b

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

2

，可得當(dāng)k=1時(shí)，

a

•

b

的最小值為

1

2

，由此利用向量的夾角公式加以計(jì)算，即可得到

a

與

b

的夾角θ的大�。�

解答：解：（1）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
∴(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，
可得k2|

a

|2+2k

a

•

b

+|

b

|2=3(|

a

|2-2k

a

•

b

+k2|

b

|2)
∵|

a

|=|

b

|=1，
∴|

a

|2=|

b

|2=1，
∴k2+2k

a

•

b

+1=3(1-2k

a

•

b

+k2)，
解得

a

•

b

=

k2+1

4k

；
（2）∵

a

•

b

=

k2+1

4k

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

×2

k• 1 k

=

1

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)k=

1

k

=1時(shí)，等號(hào)成立）．
∴當(dāng)k=1時(shí)，

a

•

b

的最小值為

1

2

，
此時(shí)

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cosθ=

1

2

，
將|

a

|=|

b

|=1代入得cosθ=

1

2

，
∵θ∈（0，π），
∴θ=

π

3

，即為

a

與

b

的夾角的大�。�

點(diǎn)評(píng)：本題給出單位向量

a

、

b

滿足的條件，求

a

•

b

的最小值并求相應(yīng)的夾角大�。�著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量模的公式、基本不等式和夾角大小的求法等知識(shí)，屬于中檔題．