Question

P在直線2x+y+10=0上，PA、PB與圓x²+y²=4相切于A、B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最小值為（　　）

A．24

B．16

C．8

D．4

Answer 1

分析：由題意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB則要求S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA的最小值，轉(zhuǎn)化為求PA最小值，由于PA²=PO²-4，當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可知當(dāng)PO⊥l時(shí)，PO有最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可求．

解答：解：由圓x²+y²=4，得到圓心（0，0），半徑r=2，
由題意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA，
在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA²=PO²-r²=PO²-4，
當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，此時(shí)所求的面積也最小，
點(diǎn)P是直線l：2x+y+10=0上的動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)PO⊥l時(shí)，PO有最小值d=

10

5

=2

5

，PA=4，
所求四邊形PAOB的面積的最小值為8．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系中的重要類型：相切問題的處理方法，解題中要注意對(duì)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．根據(jù)題意得出PO⊥l時(shí)所求圓的面積最小是解本題的關(guān)鍵．