Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁上一點，且DE=

1

3

DD₁，F(xiàn)是側面CDD₁C₁上的動點，且B₁F∥平面A₁BE，則B₁F與平面CDD₁C₁所成角的正切值的取值范圍是

[

3

2

，

3 2

2

]

．

Answer 1

分析：分別在CC₁、C₁D₁上取點N、M，使得CN=

1

3

CC1，D1M=

1

3

D1C1，連接B₁N、B₁M，可證明平面MNB₁∥平面A₁BE，由B₁F∥平面A₁BE知點F在線段MN上，易證∠B₁FC₁為B₁F與平面CDD₁C₁所成角，tan∠B₁FC₁═

B1C1

C1F

，設出棱長，可求得C₁F的最大值、最小值，從而可得答案．

解答：解：如圖：分別在CC₁、C₁D₁上取點N、M，使得CN=

1

3

CC1，D1M=

1

3

D1C1，連接B₁N、B₁M，則MN∥CD₁，
∵BC∥AD，BC=AD，AD∥A₁D₁，AD=A₁D₁，∴BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四邊形BCD₁A₁為平行四邊形，則CD₁∥BA₁，
∴MN∥BA₁，
∵CN=

1

3

CC1，DE=

1

3

DD₁，∴NE∥C₁D₁，NE=C₁D₁，
又C₁D₁∥A₁B₁，C₁D₁=A₁B₁，
∴NE∥A₁B₁，NE=A₁B₁，
∴四邊形NEA₁B₁為平行四邊形，則B₁N∥A₁E，
且MN∩B₁N=N，
∴平面MNB₁∥平面A₁BE，
∵B₁F∥平面A₁BE，點F必在線段MN上，
連接C₁F，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴∠B₁FC₁即為B₁F與平面CDD₁C₁所成角，
設正方體棱長為3，則C₁N=C₁M=2，當F為MN中點時，C₁F最短為

2

，
當F與M或N重合時，C₁F最長為2，
tan∠B₁FC₁=

B1C1

C1F

=

3

C1F

∈[

3

2

，

3 2

2

]，即所求正切值的取值范圍是[

3

2

，

3 2

2

]．
故答案為：[

3

2

，

3 2

2

]．

點評：本題考查直線與平面所成的角、面面平行的判定及性質(zhì)，考查學生分析問題解決問題的能力及空間想象能力．