Question

（本小題滿分13分）退休年齡延遲是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機抽取年齡段在20~80歲（含20歲和80歲）之間的600人進行調(diào)查，并按年齡層次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]繪制頻率分布直方圖，如圖所示.若規(guī)定年齡分布在[20,40)歲的人為“青年人”，[40,60)為“中年人”， [60,80]為“老年人”.

 

（Ⅰ）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點值來代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；

（Ⅱ）將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率．從該城市20-80年齡段市民中隨機抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

（1）48歲；（2）分布列詳見解析，.

【解析】

試題分析：本題主要考查平均值、頻率分布直方圖、二項分布、隨機變量的分布列和數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，用該區(qū)間中點值來代替每一組數(shù)據(jù)的平均值，再乘以每一組數(shù)據(jù)的頻率，得到600人的平均年齡；第二問，先由頻率分布直方圖確定“老年人”所占的頻率為，再利用二項分布的概率計算公式，計算出每一種情況的概率，列出分布列，最后利用計算數(shù)學期望.

試題解析：（1）由題意估算，所調(diào)查的600人的平均年齡為

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（2）由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占的頻率為.

∴從該城市20～80年齡段市民中隨機抽取1人，抽到“老年人”的概率為.

依題意，X的可能取值為0,1,2,3.

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；

；

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∴隨機變量X的分布列如下表：

∴隨機變量X的數(shù)學期望

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考點：1.平均值；2.頻率分布直方圖；3.二項分布；4.隨機變量的分布列和數(shù)學期望.