若點P到點F（
1
2
，0）的距離與它到直線x+
1
2
=0的距離相等．
（1）求P點軌跡方程C，
（2）A點是曲線C上橫坐標為8且在X軸上方的點，過A點且斜率為1的直線l與C的另一個交點為B，求C與l所圍成的圖形的面積．
分析：（1）直接由拋物線的定義得P點軌跡方程；
（2）求出直線l的方程，通過作草圖可把要求的圖形的面積用積分表示，然后通過求積分得到C與l所圍成的圖形的面積．
解答：解：（1）因為點P到點F（
1
2
，0）的距離與它到直線x+
1
2
=0的距離相等
所以P點軌跡為以點F（
1
2
，0）為焦點的拋物線，
其方程為y2=2x；
（2）當x=8時A點坐標為（8，4），故AF直線方程為
y-4=1×（x-8），即y=x-4．
作出曲線y2=2x，y=x-4的草圖如圖，
解方程組
y2=2x
y=x-4
，得B（2，-2）
所求面積為S=2
∫
2
0
(
2x
)dx+
∫
8
2
(
2x
-(x-4))dx
=2
2
∫
2
0
x
1
2
dx+
2
∫
8
2
x
1
2
dx
-∫
8
2
xdx
+∫
8
2
4dx
=
4
2
3
x
3
2
|
2
0
+
2
2
3
x
3
2
|
8
2
-
1
2
x2|
8
2
+4
x|
8
2

=
4
2
3
×2
3
2
+
2
2
3
(8
3
2
-2
3
2
)-
1
2
(82-22)+24=18．
所以C與l所圍成的圖形的面積為18．
點評：本題考查了拋物線的定義，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用積分求曲邊梯形的面積，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P為曲線C上任一點，若P到點F（
1
2
，0）的距離與P到直線x=-
1
2
距離相等
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點A、B，
（I）若|AB|=2
6
，求直線l的方程；
（II）試問在x軸上是否存在定點E（a，0），使
EA
•
EB
恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為
12
．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點M是圓C：x2+（y-3）2=1上的動點，求|PM|+|PF|的最大值及此時的P點坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）有下列四個命題：
①函數(shù)y=x+
1
4x
（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面內(nèi)的動點P到點F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則P的軌跡是拋物線；
③直線AB與平面α相交于點B，且AB與α內(nèi)相交于點C的三條互不重合的直線CB、CE、CF所成的角相等，則AB⊥α；
④若f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），則f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]．
其中正確的命題的編號是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：許昌三模 題型：填空題

有下列四個命題：
①函數(shù)y=x+
1
4x
（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面內(nèi)的動點P到點F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則P的軌跡是拋物線；
③直線AB與平面α相交于點B，且AB與α內(nèi)相交于點C的三條互不重合的直線CB、CE、CF所成的角相等，則AB⊥α；
④若f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），則f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]．
其中正確的命題的編號是______．

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