Question

【題目】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)．

(1)求的值；

(2)證明在上單調(diào)遞減；

(3)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）

【解析】

(1)利用即可求解；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，將不等式化為，再根據(jù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：(1) 由函數(shù)是上的奇函數(shù)知道其圖像必經(jīng)過原點(diǎn)，

即必有，即，解得

(2)由(1)知．任取且，則

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又因?yàn)?/span>且，故，

所以，即

所以在上單調(diào)遞減

(3) 不等式可化為

因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，故

所以不等式又可化為

由(2)知在上單調(diào)遞減，故必有

即

因此知題設(shè)條件是：對任意的，不等式恒成立

設(shè)，則易知當(dāng)時(shí)，

因此知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立