Question

已知函數(shù)．
（1）討論當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若曲線y=f（x）的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解（1）由題設(shè)知a≠0，f'（x）=3ax²-6x=3ax（x-）
令f'（x）=0?x=0，x=
當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，故在（-∞，0）上遞增；
若x∈（0，），則f'（x）＜0，故在（0，）上遞減；
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，則f'（x）＞0，在（，+∞）上遞增．
（2）由（1）的討論及題設(shè)知，曲線y=f（x）上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)均為函數(shù)的極值，
且函數(shù)y=f（x）在x=0，x=處分別取得極值f（0）=1-，f（）=-+1．
因?yàn)榫�段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以f（0）f（）≤0，
即（-+1）（1-）≤0?≤0．?a（a+1）（a-1）（a-4）≤0且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍[-1，0）∪[3，4]．
分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而討論出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）先求出曲線y=f（x）上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)均為函數(shù)的極值，把線段AB與x軸有公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f（0）f（）≤0，再解不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．（注意前提限制）．
點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)主要研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般結(jié)論是：導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．