Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率 k恒成立，求實數(shù)a的最小值．
（Ⅲ）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=g（）+m-1的圖象與y=f（1+x²）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I），．
因為a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由題意可知對任意0＜x₀≤3恒成立，
即有對任意0＜x₀≤3恒成立，即，
令，
則，即實數(shù)a的最小值為．
（III）若y=g（）+m-1═的圖象與y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同交點，
即有四個不同的根，
亦即有四個不同的根．
令，
則．
當x變化時G'（x）．G（x）的變化情況如下表：

由表格知：．
又因為可知，當時，
方程有四個不同的解．
∴的圖象與
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同的交點．
分析：（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0 求出F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）利用導數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率k，根據(jù)恒成立將a分離出來，，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；
（III）p函數(shù)y=g（）+m-1的圖象與y=f（1+x²）的圖象有四個不同的交點轉(zhuǎn)化成方程有四個不同的根，分離出m后，轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最大值和最小值．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負之間的關系，導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值中的應用，同時考查了導數(shù)的幾何意義和恒成立問題，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．