Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓；
③0＜θ＜

π

4

，則雙曲線C₁：

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1與C₂：

y2

sin2θ

-

x2

sin2θtan2θ

=1的離心率相同；
④已知兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和一動(dòng)點(diǎn)P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
其中真命題的序號(hào)為

 

（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論；②由題意，OP⊥AB，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)P為直徑的圓；③求出離心率，即可判斷；④化簡整理，即可分析其正誤．

解答： 解：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，①中當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線，∴①不正確；
②由題意，OP⊥AB，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)P為直徑的圓，正確；
③0＜θ＜

π

4

，則雙曲線C₁：

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1與C₂：

y2

sin2θ

-

x2

sin2θtan2θ

=1的離心率相同，都為

1

cos2θ

，正確；
④設(shè)P（x，y）為曲線|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一點(diǎn)，
則P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，-y），
∵

(-x+1)2+(-y)2

•

(-x-1)2+(-y)2

=

(x-1)2+y2

•

(x+1)2+y2

=a²（a≠0），
即P′（-x，-y）也在曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，
∴點(diǎn)P的軌跡曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即④正確；
綜上所述，正確的是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查圓錐曲線的概念及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．