已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx．
（1）若x∈[-
π
12
，
π
6
]，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）記銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面積的最大值．
分析：（1）利用兩角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+
π
3
），由 x∈[-
π
12
，
π
6
]，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最值．
（2）銳角△ABC中，由f（A）=0 可得A=
π
3
．利用基本不等式求得 bc≤4，即 bc的最大值為4，由此求得△ABC的面積S=
1
2
bc•sinA 的最大值．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx=sinxcosx+
3
cos2x-
3
sin2x+sinxcosx
=sin2x+
3
cos2x=2sin（2x+
π
3
）．
∵x∈[-
π
12
，
π
6
]，∴
π
6
≤2x+
π
3
≤
2π
3
，∴
1
2
≤sin（2x+
π
3
）≤1，
故函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為1．
（2）銳角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+
π
3
）=0，∴A=
π
3
．
∵b+c=4≥2
bc
，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，故 bc≤4，即 bc的最大值為 4．
故△ABC面積S=
1
2
bc•sinA=
3
4
bc≤
3
，故△ABC面積的最大值為
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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