已知函數(shù)f（x）對任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．
【答案】分析：（1）先任取x1＜x2，x2-x1＞0．由當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．得到f（x2-x1）＞1，再對f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結(jié)論．（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再將f（3m2-m-2）＜3轉(zhuǎn)化為f（3m2-m-2）＜f（2），由（1）中的結(jié)論，利用單調(diào)性求解．
解答：解：（1）證明：任取x1＜x2，
∴x2-x1＞0．
∴f（x2-x1）＞1．
∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）]
=f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的結(jié)論知，f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3m2-m-2＜2，
3m2-m-4＜0，
∴-1＜m＜．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性證明和單調(diào)性定義解抽象不等式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊答案