Question

9．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=c²，則此橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 利用橢圓的定義、余弦定理、向量的數(shù)量積公式，結(jié)合基本不等式，即可求出橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：由橢圓定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，①
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=c²，
∴|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=c²，②
由余弦定理可得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=4c²，③
由①②③得cos∠F₁PF₂=$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}-3{c}^{2}}$≤1，|PF₁||PF₂|=2a²-3c²，
∴e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵|PF₁||PF₂|≤$\frac{1}{4}$（|PF₁|+|PF₂|）²=a²，
∴2a²-3c²≤a²，
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴此橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓離心率的取值范圍，考查橢圓的定義、余弦定理、向量的數(shù)量積公式、基本不等式，屬于中檔題．