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如圖，正三棱柱中，，是側棱的中點.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求二面角的大小.
解：方法一：
（Ⅰ）證明：設是的中點，連接、.
在正三棱柱中，，平面，
∴是在面上的射影.
易知≌，.
又，
∴，，
∴.                 ………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，作，垂足為，連結，

則為二面角的平面角.
不妨設，則，，
在中，，
∴. ………………12分
方法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以的中點為原點，建立空間直角坐標系如圖.
不妨設，則
，，，，
∴，，
∵.
∴．………………………6分
（Ⅱ）在空間直角坐標系中，

易知平面的一個法向量為.
設平面的法向量為，
易知，.
由得，取得．
，
∴二面角的的大小為．………………………………………12分
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在下面四個平面圖形中，哪幾個是正四面體的展開圖，其序號是_________.
 
(1)              (2)              (3)                    (4)

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E為棱PC上的點，且平面BDE⊥平面PBC．

（1）求證：E為PC的中點；
（2）求二面角A-BD-E的大�。�

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

球的一個內接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為      。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在棱長為的正方體中,
是線段的中點,.
(Ⅰ) 求證:^；
(Ⅱ) 求證:∥平面；
(Ⅲ) 求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

給出下列命題：
①若平面α內的直線l垂直于平面β內的任意直線，則α⊥β；
②若平面α內的任一直線都平行于平面β，則α∥β；
③若平面α垂直于平面β，直線l在平面α內，則l⊥β；
④若平面α平行于平面β，直線l在平面α內，則l∥β.
其中正確命題的個數是(　　)
A．4B．3C．2D．1

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在四面體中,共頂點的三條棱兩兩互相垂直,且，若四面體的四個頂點在一個球面上,則B，D的球面距離為_ ___   __。               

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在120°的二面角內，放一個半徑為5cm的球切兩半平面于A、B兩點，那么這兩個切點在球面上的最短距離是                       。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

．下列四個命題
① 分別和兩條異面直線均相交的兩條直線一定是異面直線．  
② 一個平面內任意一點到另一個平面之距離均相等，那么這兩個平面平行．
③ 一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的平
面角相等或互補．   
④ 過兩異面直線外一點能作且只能作出一條直線和這兩條異面直線同時相交．其中正確命
題的個數是 
A．1B．2C．3D．4

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