Question

已知以點C為圓心的圓經(jīng)過點A（-1，0）和B（3，4），且圓心在直線x+3y-15=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）依題意，所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15=0的交點，求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）求出|AB|，圓心到AB的距離d，求出P到AB距離的最大值d+r，即可求△PAB的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15=0的交點，
∵AB中點為（1，2）斜率為1，
∴AB垂直平分線方程為y-2=（x-1）即y=-x+3…（2分）
聯(lián)立

y=-x+3 x+3y=15

，解得

x=-3 y=6

，即圓心（-3，6），
半徑r=

42+62

=2

10

…（6分）
∴所求圓方程為（x+3）²+（y-6）²=40…（7分）
（Ⅱ）|AB|=

42+42

=4

2

，…（8分）
圓心到AB的距離為d=4

2

…（9分）
∵P到AB距離的最大值為d+r=4

2

+2

10

…（11分）
∴△PAB面積的最大值為

1

2

×4

2

×(4

2

+2

10

)=16+8

5

…（12分）

點評：本題考查圓的方程，考查三角形面積的計算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．