Question

首屆重慶三峽銀行•長江杯乒乓球比賽于2014年11月14-16日在萬州三峽之星舉行，決賽中國家乒乓隊隊員張超和國家青年隊隊員夏易正進行一場比賽．根據以往經驗，單局比賽張超獲勝的概率為

2

3

，夏易正獲勝的概率為

1

3

，本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的人獲勝，比賽結束．設各局比賽相互間沒有影響．試求：
（1）比賽以張超3勝1敗而宣告結束的概率；
（2）令ξ為本場比賽的局數．求ξ的概率分布和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,二項分布與n次獨立重復試驗的模型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）以張超3勝1負而結束比賽，則張超第4局必勝而前3局必有1局�。�由此能求出比賽以張超3勝1敗而宣告結束的概率．
（2）ξ的所有取值為3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）以張超3勝1負而結束比賽，則張超第4局必勝而前3局必有1局�。�
∴所求概率為P=

C

1 3

(1-

2

3

)×(

2

3

)3=

8

27

（2）ξ的所有取值為3，4，5，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3(

1

3

)0+

C

0 3

(

2

3

)0(

1

3

)3=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)1(

2

3

)+

C

1 3

(

2

3

)1(

1

3

)2(

1

3

)=

10

27

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點評：本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．