Question

已知點(diǎn)A（0，1）、B（0，-1），P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)PA、PB的斜率之積為．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（2，0），過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線(xiàn)l交C于M、N兩點(diǎn)，△QMN的面積記為S，若對(duì)滿(mǎn)足條件的任意直線(xiàn)l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線(xiàn)PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線(xiàn)PA、PB的斜率之積為建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，分別表示出和，進(jìn)而可求得；再看直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程，把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出判斷出其范圍，綜合求得的最大值，根據(jù)S≤λtanMQN恒成立判斷出恒成立．求得λ的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則直線(xiàn)PA，PB的斜率分別是．
由條件得．
即．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，．
所以．
所以．
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），
由得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
所以．
所以．
因?yàn)閥₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以．
綜上所述的最大值是．
因?yàn)镾≤λtanMQN恒成立，
即恒成立．
由于．
所以cosMQN＞0．
所以恒成立．
所以λ的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了知識(shí)的綜合運(yùn)用，分析推理和基本的運(yùn)算能力．