Question

設定義域為R的函數f（x）=，若關于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數解，則們組題意的a的取值范圍是（ ）
A．（0，1）
B．
C．（1，2）
D．

Answer 1

【答案】分析：題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有5個不同實數解，即要求對應于f（x）=某個常數有3個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根；再結合2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，即可求出結論．
解答：解：∵題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5個不同實數解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，
∴故先根據題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根．
所以有：1＜a＜2    ①．
再根據2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒     ②
結合①②得：1＜a＜或a＜2．
故選：D．
點評：本題考查了函數的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數形結合的方法解決，使本題變得易于理解．數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．