【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，設函數(shù).證明：對于任意的，函數(shù)有且只有一個零點.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見證明

【解析】

（I）求得切點坐標和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數(shù)，得到恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此求得的取值范圍.（III）先求得的表達式，然后利用導數(shù)證得在上有一個零點.再利用導數(shù)證得在上沒有零點，由此得證.

解：（Ⅰ）已知函數(shù)，

可得，且，

函數(shù)在處的切線方程為.

（Ⅱ）對任意恒成立，所以.

令，則

令，解得.

當時時，，所以在上單調(diào)遞增；

當時，，所以在上單調(diào)遞減.

所以，

所以，即，所以的取值范圍為.

（Ⅲ）證明：由已知，則.且可知.

當時，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實根.

當時，令，則.，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.所以.所以在沒有實根.

綜上，對于任意的，函數(shù)有且只有一個零點.

練習冊系列答案
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