Question

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且橢圓過點(diǎn)（1，-

3

2

）．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)（-

6

5

，0）作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，求證：∠MAN=

π

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．根據(jù)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且橢圓過點(diǎn)（1，-

3

2

）．可得

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）設(shè)直線MN的方程為x=ky-

6

5

，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，只要證明

AM

•

AN

=0即可．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且橢圓過點(diǎn)（1，-

3

2

）．
∴

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=

3

，b²=1，a²=4．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．
（2）證明：設(shè)直線MN的方程為x=ky-

6

5

，
聯(lián)立

x=ky- 6 5 x2+4y2=4

，
得（k²+4）y²-

12

5

ky-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
y₁y₂=-

64

25(k2+4)

，y₁+y₂=

12k

5(k2+4)

，
則

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=0，
即可得∠MAN=

π

2

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．