已知圓系C:,圓C過y軸上的定點(diǎn)A,線段MN是圓C在x軸上截得的弦,設(shè)|AM|=m,|AN|=n.對于下列命題:
①不論t取何實(shí)數(shù),圓心C始終落在曲線y2=x上;
②不論t取何實(shí)數(shù),弦MN的長為定值1;
③不論t取何實(shí)數(shù),圓系C的所有圓都與直線相切;
④式子的取值范圍是
其中真命題的序號是     (把所有真命題的序號都填上)
【答案】分析:分析圓的方程特點(diǎn),圓心C(t2,t2)在直線 y=x上;由弦長公式求弦MN的長;由圓心到直線的距離和半徑作比較,判斷直線和圓的位置關(guān)系;先求出m和n的值,有基本不等式可證 +≥2,由余弦定理求出 cosA,由三角形的面積可求 sinA,再運(yùn)sinA+cosA≤,可得  +≤2
解答:解:由圓C的方程知,圓心C(t2,t2)在直線 y=x上,故①不正確.
由弦長公式得:弦MN的長為 2=2=2=1,故②正確.
圓心C(t2,t2)到直線 的距離等于|t2-|,而半徑為,二者不一定相等,故③不正確.
在圓C方程令y=0,可得 x2-2t2x+t4-=0,∴x=t2+  或 x=t2-,
即 M(t2+,0),N(t2-,0),由圓C方程知A(0,),
∴|AM|=m=,|AN|=n=,
由基本不等式得 +≥2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時等號成立),
△AMN中,由余弦定理得 1=m2+n2-2mncosA,∴cosA=,
△AMN的面積為 •m•n•sinA=×1×,∴sinA=
∵sinA+cosA=,∴+=≤2,
 即 2+≥2,故④正確.
故答案為   ②④.
點(diǎn)評:本題綜合考查圓系方程的性質(zhì),重點(diǎn)考查圓心的坐標(biāo)特征,點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式、直線和圓的位置關(guān)系以及余弦定理的應(yīng)用,并運(yùn)用sinA+cosA≤ 這個結(jié)論.
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已知圓系C:(x-t)2+(y-t2)2=t2+(t2-
1
2
)2(t∈R)
,圓C過y軸上的定點(diǎn)A,線段MN是圓C在x軸上截得的弦,設(shè)|AM|=m,|AN|=n.對于下列命題:
①不論t取何實(shí)數(shù),圓心C始終落在曲線y2=x上;
②不論t取何實(shí)數(shù),弦MN的長為定值1;
③不論t取何實(shí)數(shù),圓系C的所有圓都與直線y=
1
2
相切;
④式子
m
n
+
n
m
的取值范圍是[2,2
2
]

其中真命題的序號是
 
(把所有真命題的序號都填上)

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[  ]

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已知圓系。圓C過軸上的點(diǎn)A,線段MN是圓C在軸上截得的弦。設(shè),對于下列命題:

①不論t取何實(shí)數(shù),圓心C始終在曲線上;

②不論t取何實(shí)數(shù),弦MN的長為定值1;

③不論t取何實(shí)數(shù),圓系C的所有圓都與直線相切;

④式子的取值范圍是

其中所有正確命題的序號是________________。 

 

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