Question

（2013•自貢一模）設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+

1+x2

)．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x≥0時(shí)，恒有f（x）≤ax³，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）令an=

1

9

(

1

2

)6n+ln[(

1

2

)2n+

1+( 1 2 )4n

](n∈N*)，試證明：a1+a2+a3+…+an＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)，再求出f'（x）＞0時(shí)x的范圍；并且求出f'（x）＜0時(shí)x的范圍；進(jìn)而解決單調(diào)性問(wèn)題．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+

1+x 2

）-ax³．則g′（x）=

1+x 2 (1-3ax 2)-1

1+x 2

，令h（x）=

1+x 2

(1-3ax 2)-1，求其導(dǎo)數(shù)，下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)a≥

1

6

時(shí)，（2）當(dāng)0＜a＜

1

6

時(shí)，（3）當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0，最后綜合得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（III）在（II）中取a=

1

9

，則x∈[0，

3

3

]，時(shí)，x-ln（x+

1+x 2

）＞

1

9

x³，即

1

9

x³+ln（x+

1+x 2

）＜x，令x=（

1

2

）²ⁿ，利用等比數(shù)列求和公式即可證明結(jié)論．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
由于f′（x）=1-

1

1+x 2

≥0，
知f（x）是R上的增函數(shù)．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+

1+x 2

）-ax³．
則g′（x）=

1+x 2 (1-3ax 2)-1

1+x 2

，
令h（x）=

1+x 2

(1-3ax 2)-1，
則h′（x）=

(1-6a)x-9ax 2

1+x 2

=

x(1-6a-9ax 2)

1+x 2

，
（1）當(dāng)a≥

1

6

時(shí)，h′（x）≤0，從而h（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，因h（0）=0，則x≥0時(shí)，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，進(jìn)而g（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，
注意g（0）=0，則x≥0時(shí)，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）當(dāng)0＜a＜

1

6

時(shí)，在[0，

1-6a 9a

]，h′（x）＞0，從而x∈[0，

1-6a 9a

]時(shí)，也即f（x）＞ax³，
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
綜合，實(shí)數(shù)a的取值范圍[

1

6

，+∞）．
（III）在（II）中取a=

1

9

，則x∈[0，

3

3

]，時(shí)，x-ln（x+

1+x 2

）＞

1

9

x³，即

1

9

x³+ln（x+

1+x 2

）＜x，
令x=（

1

2

）²ⁿ，則an=

1

9

(

1

2

)6n+ln[(

1

2

)2n+

1+( 1 2 )4n

](n∈N*)＜（

1

2

）²ⁿ，
∴a1+a2+a3+…+an＜

1 4 (1-( 1 4 ) n)

1- 1 4

＜

1

3

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握求導(dǎo)該生并且利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題．