Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一點，PE⊥EC．已知PD=

2

，CD=2，AE=

1

2

，
求
（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；
（Ⅱ）二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先尋找異面直線PD與EC的公垂線，由三垂直線定理的逆定理知EC⊥DE，從而DE是異面直線PD與EC的公垂線，最后根據(jù)△DAE∽△CED，求出DE，從而求出異面直線PD與EC的距離；
（Ⅱ）過E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，連接EH．根據(jù)二面角平面角的定義可知∠EHG為二面角的平面角，在直角三角形EHG中求出此角即可得到二面角E-PC-D的大小．

解答：解：（Ⅰ）因PD⊥底面AD，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，
且DE是PE在面ABCD內(nèi)的射影，由三垂直線定理的逆定理知
EC⊥DE，因此DE是異面直線PD與EC的公垂線．
設(shè)DE=x，因△DAE∽△CED，故x：

1

2

=2：x．
從而DE=1，即異面直線PD與EC的距離為1．
（Ⅱ）過E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，連接EH．因PD⊥底面AD，
故PD⊥EG，從而EG⊥面PCD．
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC內(nèi)的射影，
由三垂線定理知EH⊥PC．
因此∠EHG為二面角的平面角．
在面PDC中，PD=

2

，CD=2，GC=2-

1

2

=

3

2

，
因△PDC∽△GHC，故GH=PD•

CG

PC

=

3

2

，
又EG=

DE2-DG2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
故在Rt△EHG中，GH=EG，因此∠EHG=

π

4

，
即二面角E-PC-D的大小為

π

4

．

點評：本題主要考查了異面直線的距離的度量，以及二面角的度量，同時考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．