已知函數(shù)f(x)=
4x-a
1+x2
在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，且f（m）f（n）=-4．
（1）當a=3時，求m，n的值；
（2）當f（n）-f（m）最小時，
①求a的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）圖象上的兩點，且存在實數(shù)x0使得f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x0＜x2．
分析：（1）已知函數(shù)f(x)=
4x-a
1+x2
在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，先用導數(shù)求得當a=3時的所有單調區(qū)間，則有[m，n]為函數(shù)f（x）單調區(qū)間的子集．
（2）①由f(n)-f(m)=f(n)+[-f(m)]≥2
f(n)[-f(m)]
=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立求解．
②先分別表示出f′(x0)=
4(1-
x
2
0
)
(1+
x
2
0
)2
和
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
4(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
，再由f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，得到，
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
=
1-x1x2
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
，再用作差法比較
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
與
1-
x
2
1
(1+
x
2
1
)2
的大�。�
解答：解：f′(x)=
4(1+x2)-2x(4x-a)
(1+x2)2
=
-2(2x2-ax-2)
(1+x2)2
．（2分）
（1）當a=3時，由f′(x)=
-2(2x2-3x-2)
(1+x2)2
=
-2(2x+1)(x-2)
(1+x2)2
=0，
得x=-
1
2
或x=2，
所以f（x）在[-
1
2
，2]上為增函數(shù)，在(-∞，-
1
2
)，（2，+∞）上為減函數(shù)，（4分）
由題意知-
1
2
≤m＜n≤2，且f(-
1
2
)≤f(m)＜0＜f(n)≤f(2)．
因為f(-
1
2
)=-4，f(2)=1，所以-4=f(m)f(n)≥f(-
1
2
)f(2)=-4，
可知m=-
1
2
，n=2．（7分）
（2）①因為f(n)-f(m)=f(n)+[-f(m)]≥2
f(n)[-f(m)]
=4，
當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立．（8分）
由f(n)=
4n-a
1+n2
=2，有-a=2（n-1）2≥0，得a≤0；（9分）
由f(m)=
4m-a
1+m2
=-2，有a=2（m+1）2≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值時，a=0，n=1．（11分）
②此時，f′(x0)=
4(1-
x
2
0
)
(1+
x
2
0
)2
，
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
4(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
，
由f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
知，
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
=
1-x1x2
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
，（12分）
欲證x1＜x0＜x2，先比較
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
與
1-
x
2
1
(1+
x
2
1
)2
的大小．
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
-
1-
x
2
1
(1+
x
2
1
)2

=
1-x1x2
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
-
1-
x
2
1
(1+
x
2
1
)2

=
(x1-x2)(2x1+x2-
x
2
1
x2)
(1+
x
2
1
)2(1+
x
2
2
)

=
(x1-x2)[x1(2-x1x2)+x2]
(1+
x
2
1
)2(1+
x
2
2
)

因為0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，有x1（2-x1x2）+x2＞0，
于是（x1-x2）[x1（2-x1x2）+x2]＜0，即
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
-
1-
x
2
1
(1+
x
2
1
)2
＜0，（13分）
另一方面，
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)2
-
1-
x
2
1
(1+
x
2
1
)2
=
(
x
2
1
-
x
2
0
)(3+
x
2
1
+
x
2
0
-
x
2
1
x
2
0
)
(1+
x
2
0
)2(1+
x
2
1
)2
，
因為0＜x12x02＜1，所以3+x12+x02-x12x02＞0，從而x12-x02＜0，即x1＜|x0|（14分）
同理可證x0＜x2，因此x1＜|x0|＜x2．（15分）
點評：本題主要考查導數(shù)在研究單調性，求最值，比較大小中的應用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函數(shù)f（x）的圖象經過點（3，
1
8
），則a=
 
；若函數(shù)f（x）滿足對任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，則它是（　�。�
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）當-4≤x＜3時，求f（x）取值的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，則M、N一定滿足（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）當-4≤x＜3時，求f（x）取值的集合．

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