Question

已知函數(shù)f(x)=

4(a-3)x+a+ 1 2 (x＜0) ax，(x≥0)

，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，

1

8

），則a=

 

；若函數(shù)f（x）滿足對任意x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0都有成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，

1

8

），因?yàn)?＞0，故a3=

1

8

，可求出a；
函數(shù)f（x）滿足對任意x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，即f（x）為減函數(shù)，只要考慮x＜0時的單調(diào)性即可．

解答：解：函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，

1

8

），因?yàn)?＞0，故a3=

1

8

，所以a=

1

2

；
函數(shù)f（x）滿足對任意x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，即f（x）為減函數(shù)，
x≥0時，f（x）=a^x為減函數(shù)，則0＜a＜1，且f（0）=1，
x＜0時，f（x）=4（a-3）x+a+

1

2

為減函數(shù)，故a-3＜0，a＜3，且x→0時，f（x）→a+

1

2

≥f（0）=1，所以a≥

1

2

綜上可得：

1

2

≤ a＜1
故答案為：

1

2

，[

1

2

，1)

點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、分段函數(shù)的單調(diào)性，難度一般．