Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f′（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{a_n}，求證：

n

k=1

ak=a1+a2+a3+…+an＜5．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f′（0）=2n建立關(guān)于a與b的方程組，解之即可；
（2）根據(jù)條件可得

1

an+1

-

1

an

=2n，然后利用疊加法可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用放縮法將通項(xiàng)進(jìn)行變形，然后利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求和，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）由f'（x）=2ax+b，∴

b=2n 16n2a-4nb=0

解之得a=

1

2

，b=2n，
即f(x)=

1

2

x2+2nx(n∈N*)；
（2）∵

1

an+1

=f′(

1

an

)，
∴

1

an+1

=

1

an

+2n，
∴

1

an+1

-

1

an

=2n，由累加得

1

an+1

-

1

4

=n2+n，
∴an=

4

(2n-1)2

(n∈N*)；
（3）ak=

1

k(k-1)+ 1 4

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

(k≥2)，當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，

n

k=1

ak≤4+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=5-

1

n

＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及放縮法證明不等式，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．