Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G、F分別是AD、PB的中點(diǎn)．
（I）求證：PA⊥CD；
（II）證明：GF⊥平面PCB；
（III）求二面角A-PB-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用

PA

⊥

DC

證得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用

FG • CB =0 FG • PC =0

去證GF⊥平面PCB
（Ⅲ）求出平面PAB，平面PCB的一個(gè)法向量，利用兩法向量的夾角間接求二面角A-PB-C的大小

解答：解：（I）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）
 

PA

=（2，0，-2）

DC

=（0，2，0）

PA

•

DC

=0，∴

PA

⊥

DC

∴PA⊥CD；
（Ⅱ）設(shè)G（1，0，0）則

FG

=（0，-1，-1）

CB

=（2，0，0）

PC

=（0，2，-2）
又

FG • CB =0 FG • PC =0

∴GF⊥平面PCB；

（Ⅲ）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n₁=（x，y，z）
又

AB

=（0，2，0）

PA

=（2，0，-2）

n1• AB=0 n1• PA =0

即

y=0 x-z=0

令x=1，可得n₁=（1，0，1）
同理可求得平面PBC的一個(gè)法向量為
n₂=（0，-1，-1）
設(shè)二面角A-PB-C的大小為θ
則|cosθ|=

|n1• n2|

|n1| ×|n2|

=

1

2

，
∵θ為鈍角，∴二面角A-PB-C的大為120°

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面、面面位置關(guān)系，二面角求解．借助于空間向量的運(yùn)算，降低了思維難度，增加了解題方法．