Question

【題目】從圓周的九等分點(diǎn)中，任取五點(diǎn)染為紅色．證明：存在以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的不同的六個(gè)三角形，滿足，，．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

注意如下事實(shí)：

（1）以、為底的等腰梯形中，存在兩對(duì)全等三角形：，，并且梯形的每個(gè)頂點(diǎn)都在其中一對(duì)全等三角形中兩次出現(xiàn)．

（2）若是等腰梯形兩底、中垂線上的任一點(diǎn)，則．

（i）先證明，五個(gè)紅點(diǎn)中，必有某四點(diǎn)構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．

不妨設(shè)圓周上九等分點(diǎn)相鄰兩個(gè)分點(diǎn)間的弧長為1．再設(shè)一條弦，如果其所對(duì)的劣弧長為，則稱該弦的“刻度”為．于是，以分點(diǎn)為端點(diǎn)的弦的刻度只有1、2、3、4四種情況．顯然，兩弦相等當(dāng)且僅當(dāng)其刻度相等．五個(gè)紅點(diǎn)共得條紅端點(diǎn)的弦，其中必有三條弦具有相同的刻度，由于對(duì)每個(gè)，同一點(diǎn)只能發(fā)出兩條刻度為的弦．注意到以九等分點(diǎn)為端點(diǎn)的任一條弦不為直徑，因此，若兩條等弦無公共端點(diǎn)，則其四個(gè)端點(diǎn)便構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．

若這三條等弦不圍成三角形，則其中有兩條等弦無公共端點(diǎn)．于是，其四個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．

若這三條等弦圍成三角形，則是正三角形．于是，這三條弦的刻度皆為3．若還有刻度為3的弦，則該弦與正三角形的每條邊無公共端點(diǎn)．此時(shí)，弦與正三角形的每一條邊所形成的四個(gè)端點(diǎn)都構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．若除了正三角形的邊之外，再無刻度為3的弦，去掉這三條弦，剩下的7條弦只有1、2、4這三種刻度，其中必有三條弦具有相同的刻度，這三條等弦不可能圍成三角形．因此，其中有兩條等弦無公共端點(diǎn)．于是，其四個(gè)端點(diǎn)便構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．

（ii）由于弦的刻度只有1、2、3、4四種情況，故等腰梯形上下兩底的“刻度對(duì)”只有，，，，，這六種可能，順次如下圖所示．

以下用梯形兩底的刻度對(duì)表示相應(yīng)的梯形圖．

據(jù)（1）知，每個(gè)等腰梯形中都存在兩對(duì)全等三角形．

再考慮第五個(gè)紅點(diǎn)．

若該紅點(diǎn)為兩底中垂線上的點(diǎn)，據(jù)（2）知，存在另一對(duì)全等三角形．

若該紅點(diǎn)異于點(diǎn)，據(jù)圖形的對(duì)稱性，只需考慮紅點(diǎn)為或的情況．再證明：無論增加紅點(diǎn)或，圖形中都將新增一個(gè)等腰梯形．

i）若增加紅點(diǎn)，則在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形．

ii）若增加紅點(diǎn)，則在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形．

而據(jù)（1），新增紅點(diǎn)必在新增梯形的一對(duì)全等三角形中兩次出現(xiàn)，也就是增加了一對(duì)新的全等三角形．

因此，給出的五個(gè)紅點(diǎn)中，存在六個(gè)以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，它們可配成全等的三對(duì)．

故本題得證．