Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，直線(xiàn)l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t為常數(shù)）；l₂：x=2．若直線(xiàn)l₁、l₂與函數(shù)f（x）的圖象以及l(fā)₁、y軸所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求a，b，c的值；
（2）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式；
（3）求函數(shù)S（t）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之即可得到a、b、c的值；
（2）聯(lián)解方程組得出直線(xiàn)l₁與f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到S（t）關(guān)于t的積分函數(shù)關(guān)系式，利用定積分計(jì)算公式即可算出S（t）=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

；
（3）求導(dǎo)數(shù)：S'（t）=-4t²+20t-16，列表給出導(dǎo)數(shù)的分布與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，得到S（t）的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，從而得到函數(shù)S（t）的最大值、最小值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖形可得

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

，解之得：

a=-1 b=8 c=0

∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x
（2）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

，得x²-8x-t（t-8）=0，
∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2．…（6分）
∴直線(xiàn)l₁與函數(shù)f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t²+8t），
由定積分的幾何意義知：
S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx
=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

，（其中0≤t≤2）…（9分）
所以S(t)=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

（0≤t≤2）
（3）由（2）知，S'（t）=-4t²+20t-16，
令S'（t）=-4（t-1）（t-4）=0，得t=1，或t=4．
因此，當(dāng)S'（t）＜0時(shí)，即有t＞4，或t＜1；…（11分）
當(dāng)S'（t）＞0時(shí)，有1＜t＜4．所以，當(dāng)t在[0，2]內(nèi)變化時(shí)，S'（t），S（t）的變化情況如下表：

t	[0，1）	1	（1，4]
S'（t）	-	0	+
S（t）	單調(diào)遞減	6	單調(diào)遞增

因此，當(dāng)時(shí)，S（t）有極小值，且極小值為S（1）=6，
又由于S(0)=

40

3

，S(2)=

32

3

…（14分）
因此S(t)=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

在[0，2]上的最大值是

40

3

，最小值是6．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、定積分的幾何意義和定積分計(jì)算公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識(shí)，屬于中檔題．