Question

18．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+3\;\;\;\;\;\;x＜2\\-6+{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\end{array}\right.$的值域?yàn)閇-2，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=-6+2^x≥-2．當(dāng)x＜2，f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，由此利用分尖討論思想能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+3\;\;\;\;\;\;x＜2\\-6+{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\end{array}\right.$的值域?yàn)閇-2，+∞），
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=-6+2^x≥-2．
當(dāng)x＜2，f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$=2時(shí)，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得-2$\sqrt{5}$≤a≤2$\sqrt{5}$，a=4∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]，故a=4成立；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜2時(shí)，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得-2$\sqrt{5}$≤a＜4．
當(dāng)$\frac{a}{2}$＞2時(shí)，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥（2-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得4＜a$≤\frac{9}{2}$．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．
故答案為：[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．