Question

3．若點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）同時(shí)滿足一下兩個(gè)條件：
（1）點(diǎn)A、B都在函數(shù)y=f（x）上；
（2）點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
則稱點(diǎn)對(duì)（（x₁，y₁），（x₂，y₂））是函數(shù)f（x）的一個(gè)“姐妹點(diǎn)對(duì)”．
已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-4\;\;\;\;（{x≥0}）\\{x^2}-2x\;\;（{x＜0}）\;\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）的“姐妹點(diǎn)對(duì)”是（1，-3），（-1，3）．

Answer 1

分析 設(shè)x₁＞0，則y₁=x₁-4，由“姐妹點(diǎn)對(duì)”的定義知x₂=-x₁，y₂=${{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}^{\;}$=-y₁=4-x₁，由此能求出函數(shù)f（x）的“姐妹點(diǎn)對(duì)”．

解答 解：設(shè)x₁＞0，則y₁=x₁-4，
∵點(diǎn)對(duì)（（x₁，y₁），（x₂，y₂））是函數(shù)f（x）的一個(gè)“姐妹點(diǎn)對(duì)”，
∴x₂=-x₁，y₂=（-x₁）²-2（-x₁）=${{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}^{\;}$=-y₁=4-x₁，
∴${{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=0$，
解得x₁=1或x₁=-4（舍），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的“姐妹點(diǎn)對(duì)”是（1，-3），（-1，3）．
故答案為：（1，-3），（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的“姐妹點(diǎn)對(duì)”的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．