Question

已知F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，若

|PF1|

|PF2|

=

1

8

，則雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)8|PF₁|=|PF₂|，P在雙曲線左支上一點(diǎn)（x≤-a），利用雙曲線的第二定義，可得x關(guān)于e的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．

解答： 解：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
∵8|PF₁|=|PF₂|，P在雙曲線左支上一點(diǎn)（x≤-a），
根據(jù)雙曲線的第二定義，可得e（

a2

c

-x）=8e（-x-

a2

c

）
∴8a+a=7x（-e），
∵x≤-a，∴-a•（-7e）≤9a，
∴e≤

9

7

，
∵e＞1，∴1＜e≤

9

7

故答案為：（1，

9

7

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．