【題目】用空間向量解決下列問題：如圖，在斜三棱柱中， 是的中點， ⊥平面， ， ．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：先由線面垂直的性質(zhì)可證明，由三角形中位線定理及，可證明，從而可以以為原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系. （1）分別求出， ，可得，從而可得；（2）分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：取的中點，連結(jié)，

⊥平面， ， 平面，

， ，

、分別是、的中點， ，

又， ，

所以，可以以為原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，于是， ， ，

， ，

（1）， ，

，即.

（2）由（1）知， ， ， ,設(shè)是平面的一個法向量，由

，

，取，得， ， ，

設(shè)是平面的一個法向量，由，

，取，得，

， ， 又因為二面角為銳二面角，所以，二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線AC1上任取一點P，以A為球心，AP為半徑作一個球．設(shè)AP=x，記該球面與正方體表面的交線的長度和為f（x），則函數(shù)f（x）的圖象最有可能的是（ ）

A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某學(xué)校高三年級共名男生中隨機(jī)抽取名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組，第一組；第二組，，第八組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，若第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．

（）估計這所學(xué)校高三年級全體男生身高以上（含）的人數(shù)．

（）求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖．（鉛筆作圖并用中性筆描黑）．

（）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為、，求滿足的事件概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校有兩個參加國際中學(xué)生交流活動的代表名額，為此該學(xué)校高中部推薦2男1女三名候選人，初中部也推薦了1男2女三名候選人。若從6名學(xué)生中人選2人做代表。

求：（1）選出的2名同學(xué)來自不同年相級部且性別同的概率；

（2）選出的2名同學(xué)都來自高中部或都來自初中部的概率。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x ， 下列命題正確的有 ． （寫出所有正確命題的編號）
①f（x）是奇函數(shù)；
②f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
③方程f（x）=x2+2x有且僅有1個實數(shù)根；
④如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知從橢圓的一個焦點看兩短軸端點所成視角為,且橢圓經(jīng)過.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實數(shù),使直線與橢圓有兩個不同交點，且（為坐標(biāo)原點），若存在,求出的值.不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個焦點分別為， ，過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點，直線： 與軸交于點，與橢圓交于， 兩個不同的點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校高一年級有學(xué)生名，高二年級有學(xué)生名.現(xiàn)用分層抽樣方法（按高一年級、高二年級分二層）從該校的學(xué)生中抽取名學(xué)生，調(diào)查他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

（Ⅰ）高一年級學(xué)生中和高二年級學(xué)生中各抽取多少學(xué)生？

（Ⅱ）通過一系列的測試，得到這名學(xué)生的數(shù)學(xué)能力值.分別如表一和表二

表一：

高一年級

人數(shù)

表二：

高二年級

人數(shù)

①確定，并在答題紙上完成頻率分布直方圖；

②分別估計該校高一年級學(xué)生和高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)能力值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

③根據(jù)已完成的頻率分布直方圖，指出該校高一年級學(xué)生和高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)能力值分布特點的不同之處（不用計算，通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）

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