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【題目】用空間向量解決下列問題：如圖，在斜三棱柱中， 是的中點， ⊥平面， ， ．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：先由線面垂直的性質可證明，由三角形中位線定理及，可證明，從而可以以為原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標系. （1）分別求出， ，可得，從而可得；（2）分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：取的中點，連結，

⊥平面， ， 平面，

， ，

、分別是、的中點， ，

又， ，

所以，可以以為原點，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，于是， ， ，

， ，

（1）， ，

，即.

（2）由（1）知， ， ， ,設是平面的一個法向量，由

，

，取，得， ， ，

設是平面的一個法向量，由，

，取，得，

， ， 又因為二面角為銳二面角，所以，二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線AC1上任取一點P，以A為球心，AP為半徑作一個球．設AP=x，記該球面與正方體表面的交線的長度和為f（x），則函數f（x）的圖象最有可能的是（ ）

A.
B.
C.
D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】從某學校高三年級共名男生中隨機抽取名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成八組，第一組；第二組，，第八組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，若第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．

（）估計這所學校高三年級全體男生身高以上（含）的人數．

（）求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖．（鉛筆作圖并用中性筆描黑）．

（）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為、，求滿足的事件概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校有兩個參加國際中學生交流活動的代表名額，為此該學校高中部推薦2男1女三名候選人，初中部也推薦了1男2女三名候選人。若從6名學生中人選2人做代表。

求：（1）選出的2名同學來自不同年相級部且性別同的概率；

（2）選出的2名同學都來自高中部或都來自初中部的概率。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=ex﹣e﹣x ， 下列命題正確的有 ． （寫出所有正確命題的編號）
①f（x）是奇函數；
②f（x）在R上是單調遞增函數；
③方程f（x）=x2+2x有且僅有1個實數根；
④如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值為2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知從橢圓的一個焦點看兩短軸端點所成視角為,且橢圓經過.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實數,使直線與橢圓有兩個不同交點，且（為坐標原點），若存在,求出的值.不存在,說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個焦點分別為， ，過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知為坐標原點，直線： 與軸交于點，與橢圓交于， 兩個不同的點，若存在實數，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校高一年級有學生名，高二年級有學生名.現(xiàn)用分層抽樣方法（按高一年級、高二年級分二層）從該校的學生中抽取名學生，調查他們的數學學習能力.

（Ⅰ）高一年級學生中和高二年級學生中各抽取多少學生？

（Ⅱ）通過一系列的測試，得到這名學生的數學能力值.分別如表一和表二

表一：

高一年級

人數

表二：

高二年級

人數

①確定，并在答題紙上完成頻率分布直方圖；

②分別估計該校高一年級學生和高二年級學生的數學能力值的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

③根據已完成的頻率分布直方圖，指出該校高一年級學生和高二年級學生的數學能力值分布特點的不同之處（不用計算，通過觀察直方圖直接回答結論）

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同步練習冊答案