Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�
（3）求點A到面EBD的距離．

Answer 1

【答案】分析：由于本題給出了三條兩兩垂直且相交于一點的三條直線DA、DP、DC，故可以考慮建立空間直角坐標系，用向量法解決．對于問題（1），由于條件中已經(jīng)給出了EF⊥PB，故只需再證明PB⊥DE即可，二者的坐標都可以求出，只需計算即可得證．
對于問題（2），平面PBD一個法向量已經(jīng)給出，只需找出平面PBC的一個法向量即可，由于三角形PDC是等腰直角三角形，E是PC的中點，容易得到DE⊥PC，而BC與平面PDC垂直容易證明，故能證明所以=（0，，）是平面PBC的一個法向量，所以只需求這兩個法向量的夾角即可；
對于問題（3），求點A到面EBD的距離，只需求出平面EBD的一個法向量，A到面EBD的距離轉化為向量AB在這個法向量上的投影即可．
解答：解：建立空間直角坐標系，如圖．則A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），D，（0，0，0），P（0，0，1），E（0，，）
（1）P=（1，1，-1），=（0，，）
因為=（1，1，-1）•（0，，）=0，
所以．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（2）由題知，=（-1，1，0）是平面PBD的一個法向量
又═（0，1，-1）•（0，，）=0，
所以=（0，，）是平面PBC的一個法向量
cos＜，＞=從而二面角C-PB-D的大小為60°
（3）設平面EBD的一個法向量為（x，y，z）
則有
所以=（1，-1，1）是平面EBD的一個法向量．點A到面EBD距離
點評：本題考查線面垂直的判定、二面角的求法、點到面的距離的計算，在本題的條件下，選擇使用向量法，將證明問題轉化為向量的計算問題，使問題簡單化，但是要注意求二面角時先求兩個半平面的法向量，再計算其夾角；點A到面EBD的距離轉化成向量AB在面EBD的一個法向量上的投影．