Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，E，F(xiàn)，N分別為A₁B₁，B₁C₁，C₁D，D₁A₁的中點，求證：
（1）E，F(xiàn)，B，D，四點共面；
（2）面MAN∥面EFDB．

Answer 1

分析：（1）由E，E分別是B₁C₁，C₁D的中點，知EF∥B₁D₁，從而得到EF∥BD，由此能證明E，F(xiàn)，B，D，四點共面．
（2）由題設(shè)條件推導(dǎo)出MN∥EF，AN∥CF，由此能夠證明面MAN∥面EFDB．

解答：證明：（1）∵E，E分別是B₁C₁，C₁D的中點，
∴EF∥B₁D₁，
∵B₁D₁∥BD，∴EF∥BD，
∴E，F(xiàn)，B，D，四點共面．
（2）∵M(jìn)，N分別是A₁B₁，D₁A₁的中點，
∴MN∥B₁D₁，
∵EF∥B₁D₁，∴MN∥EF，
∵F，N分別是D₁C₁、A₁B₁的中點，
∴NF

∥

.

A₁D₁，
∵A1D1

∥

.

AC，∴NF

∥

.

AC，
∴四邊形NFCA是平行四邊形，
∴AN∥CF，
∵M(jìn)N∩AN=N，EF∩DF=F，
∴面MAN∥面EFDB．

點評：本題考查四點共面的證明，考查兩個平面平行的證明．解題時要認(rèn)真審題，注意中位線定理和平行公理的合理運用．