Question

【題目】已知點A、B在半徑為1的⊙O上，直線AC與⊙O相切，OC⊥OB，連接AB交OC于點D．

（Ⅰ）如圖①，若∠OCA=60°，求OD的長；

（Ⅱ）如圖②，OC與⊙O交于點E，若BE∥OA，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）如圖①，先由切線得∠OAB+∠BAC=90°，再利用OC⊥OB的∠BOC=90°，然后根據(jù)對頂角相等和等腰三角形的形式可求解；

（2）先判斷△OEB為等腰直角三角形，得到∠OBE=∠OEB=45°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAC=∠ADC，可得AC=CD=1，OC=OA=，由此得解.

試題解析：（1）∵AC與⊙O相切，∴∠OAC=90°．

∵∠OCA=60°，∴∠AOC=30°．∵OC⊥OB，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=AD，∠DAC=60°∴AD=CD=AC．

∵OA=1，∴OD=AC=OAtan∠AOC=．

（2）∵OC⊥OB，∴∠OBE=∠OEB=45°．∵BE∥OA，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，

∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．

∵∠DAC=90°﹣∠OAB=67.5°=∠ADC，∴AC=CD．∵OC==，∴OD=OC﹣CD=﹣1．