【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,
①求函數(shù)在點處的切線方程;
②比較與的大小;
(2)當(dāng)時,若對時,,且有唯一零點,證明:.
【答案】(1)①見解析,②見解析;(2)見解析
【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點斜式求函數(shù)在點處的切線方程;
②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.
(2)由題意,,在上有唯一零點.利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng),時,在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.
解:(1)①當(dāng)時,,,,
又,切線方程為,即;
②令,
則,
在上單調(diào)遞減.
又,
當(dāng)時,,即;
當(dāng)時,,即;
當(dāng)時,,即.
證明:(2)由題意,,
而,
令,解得.
,,
在上有唯一零點.
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,
當(dāng),時,,在,上單調(diào)遞增.
.
在恒成立,且有唯一解,
,即,
消去,得,
即.
令,則,
在上恒成立,
在上單調(diào)遞減,
又, ,
.
在上單調(diào)遞增,
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.
(1)為了解“五·一”勞動節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:
現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再從抽取的10人中隨機抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;
(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗,該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬人)都大于1.將每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個區(qū)間整理得表:
勞動節(jié)當(dāng)日客流量 | |||
頻數(shù)(年) | 2 | 4 | 4 |
以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量相互獨立.
該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:
勞動節(jié)當(dāng)日客流量 | |||
型游船最多使用量 | 1 | 2 | 3 |
若某艘型游船在勞動節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤3萬元;若某艘型游船勞動節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬元.記(單位:萬元)表示該游船中心在勞動節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤,的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤越大,問該游船中心在2020年勞動節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤最大?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年9月支付寶宣布在肯德基的KPRO餐廳上線刷臉支付,也即用戶可以不用手機,單單通過刷臉就可以完成支付寶支付,這也是刷臉支付在全球范圍內(nèi)的首次商用試點.某市隨機抽查了每月用支付寶消費金額不超過3000元的男女顧客各300人,調(diào)查了他們的支付寶使用情況,得到如下頻率分布直方圖:
若每月利用支付寶支付金額超過2千元的顧客被稱為“支付寶達(dá)人”, 利用支付寶支付金額不超過2千元的顧客稱為“非支付寶達(dá)人”.
(I)若抽取的“支付寶達(dá)人”中女性占120人,請根據(jù)條件完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“支付寶達(dá)人”與性別有關(guān).
(II)支付寶公司為了進一步了解這600人的支付寶使用體驗情況和建議,從“非支付寶達(dá)人” “支付寶達(dá)人”中用分層抽樣的方法抽取8人.若需從這8人中隨機選取2人進行問卷調(diào)查,求至少有1人是“支付寶達(dá)人”的概率.
附:參考公式與參考數(shù)據(jù)如下
,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,橢圓:經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點是橢圓上的任意一點,射線與橢圓交于點,過點的直線與橢圓有且只有一個公共點,直線與橢圓交于,兩個相異點,證明:面積為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項和為,且.
(1) 證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;
(2) 記,求數(shù)列的前n項和.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的圖像在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的極大值;
(3)若對恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),,都有,,且,則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“速增函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“速增函數(shù)”,且,求證:對任意,都有.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】程大位是明代著名數(shù)學(xué)家,他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.卷八中第33問:“今有三角果一垛,底闊每面七個.問該若干?”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數(shù)S為( )
A.28B.56C.84D.120
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com