Question

在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．
（I）證明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取CD中點M，證明四邊形EFOM為平行四邊形，得到 FO∥EM，從而證明FO∥平面CDE．
（Ⅱ） 證明平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM，證明CD⊥平面EOM，可得CD⊥EO，進而證得EO⊥平面CDF．
解答：證明：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連接OM．
在矩形ABCD中，OM∥BC，且 OM=BC，又 EF∥BC，且 EF=BC，
則 EF∥OM，EF=OM，連接EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形．∴FO∥EM．
又 FO不在平面CDE內(nèi)，且 EM在平面CDE內(nèi)，∴FO∥平面CDE．
（Ⅱ）證明：連接FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，
且 EM=CD= BC=EF，因此，平行四邊形EFOM為菱形，從而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以，EO⊥平面CDF．
點評：本題考查證明先面平行、線面垂直的方法，取CD中點M，證明CD⊥平面EOM，是解題的難點．